Construction d'une approximation de courbe intégrale

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Créteil

Méthode d'Euler

Il s'agit de construire un ou deux exemples d'une telle construction en appliquant la méthode d'Euler.

Sur le site de l'académie de Créteil, on trouve une séquence comportant un tel exemple avec une fiche détaillant la méthode, un fichier GeoplanW d'illustration, une fiche permettant aux élèves de mener les calculs et de faire une représentation graphique sous Excel ainsi que le fichier Excel correspondant.
Voici la fiche élève :



A la recherche d'une fonction inconnue!

Méthode d'EULER

Objectif : Approcher la fonction logarithme népérien.

Le cours théorique qui sera développé en classe de terminale permettra de démontrer les propriétés de la fonction "logarithme népérien".
Nous envisageons en Première uniquement de confectionner un tableau de valeurs approchées et donc une représentation graphique d'une fonction dont nous savons qu'elle existe sans pour autant savoir l'expliciter à l'aide des fonctions connues.


Après avoir lu le document d'initiation ou suivi les explications du professeur, pourriez vous mettre en œuvre l'algorithme d'EULER afin de déterminer la fonction F qui a pour dérivée la fonction «Inverse», et qui est définie sur avec pour "condition initiale" F(1)=0. Cette fonction F est appelée fonction logarithme népérien et sera notée dans la suite LN.

Il s'agit donc de résoudre une équation différentielle avec second membre: et y(1)=0


A B C
1
Conditions
initiales
2
x
=B2+$B$8
3
y
=B3+$B$8*B5
5
y'
=1/C2
6
7
8
pas de calcul
"h" = 0,01
10


· Pour un pas de 0,01 obtenez vous les valeurs suivantes?

x
1,0000
1,0100
1,0200
1,0300
1,0400
1,0500
1,0600
y
0,0000
0,9901
0,0199
0,0297
0,0394
0,0490
0,0586
y'
1,0000
0,9901
0,9804
0,9709
0,9615
0,9524
0,9434
valeur "exacte"
0,0000
0,0100
0,0198
0,0296
0,0392
0,0488
0,0583
erreur relative
0,0050
0,0050
0,0049
0,0049
0,0049
0,0049


· Tracez la représentation graphique approchée de la fonction recherchée et celle de la fonction LN ( logarithme népérien).

· Les approximations successives dues à l'algorithme d'EULER vous semblent elles «acceptables» pour une première approche?

· Tracez la représentation graphique de l'erreur relative commise . Que constatez vous? Pouvait-on s'attendre à cette variation?