Fonctions : différentes significations d'une même expression

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Pour aider les élèves éprouvant des difficultés à prendre conscience des diverses significations possibles, suivant le contexte, d'une expression telle que k(x-2), l'utilisation (dans le cadre de l'aide individualisée ou des modules) d'un logiciel de calcul symbolique, qui demande d'expliciter la nature des objets que l'on construit (ou fait des choix implicites).

Certains outils de calcul symbolique considèrent que par défaut dans l'écriture de f(x+1), f représente une fonction, d'autres que f représente un nombre.


Dans ce qui suit, h désigne une fonction, et k un nombre réel.

Lorsqu'on demande On obtient avec le logiciel
de développer h(x+1)
h(x+1)
de développer k(x+1)
kx+k
ce que vaut h(x+1) pour x = 0
h(1)
ce que vaut k(x+1) pour x = 0
k
ce que vaut h(x+1) pour x = -1
h(0)
ce que vaut k(x+1) pour x = -1
0


L'élève peut alors se demander s'il n'y a pas tout de même identité par exemple entre h(0) et 0 (confusion fréquente !) ou entre h(x+1) et h(x)+h(1) (hypothèse de linéarité "implicite" pour beaucoup d'élèves).

On définit alors h(x)= 2x+3

Lorsqu'on demande On obtient avec le logiciel
h(x+1)
2x+5
h(x)+1
2x+4
h(x)+h(1)
2x+8


Ces différents résultats questionnent les élèves : il leur est donc demandé de trouver l'explication (le premier étant le plus difficile !).

Un peu d'anticipation : qu'obtiendrait-on en tapant : h(x)+x+1 ? puis h(x)(x+1) ? On vérifie à l'aide du logiciel.

Le même type de travail peut porter sur les diverses significations, dans l'écriture mathématique, du symbole " = ".